Meteorología anuncia probabilidad de lluvias en las próximas horas en Asunción
Compartir Hay alta probabilidad de lluvias a partir del mediodía de este miércoles, anunció Jorge Sánchez, de la dirección de Meteorología. De producirse, las precipitaciones continuarán incluso hasta el jueves.
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La proyección explica que las lluvias que se producen en el Sur del país alcanzarían la parte central del la Región Oriental.
También se prevé un pequeño descenso en la temperatura para el viernes. Una máxima estimada de 27º y una mínima de 18º, afirmó Sánchez en contacto con la 650 AM.
De igual manera, existen probabilidades de lluvia para el sector del Chaco. La zona de Bajo Chaco es la que podría tener chaparrones en las próximas horas.
En Itapúa se registran fuertes lluvias, inclusive con granizos en la zona de María Auxiliadora. También hay granizada en la zona de Iturbe, en el Guairá.
sábado, 25 de septiembre de 2010
AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD
Definición axiomática de probabilidad
Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de una función de probabilidad:
La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del ni del ;
La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el ;
La probabilidad del suceso imposible debe ser 0.
La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,
a probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado:
Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) debe ocurrir que
La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer . Esto en realidad puede deducirse del siguiente razonamiento:
En las últimas líneas hemos esbozado ciertas propiedades que debería cumplir una función que queramos llamar probabilidad. Hemos de tener en cuenta entonces que siguiendo esos puntos:
1. La función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E. No es estrictamente necesario que sean todos, pero si es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, lo pueda ser también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, que también se pueda calcular sobre su unión y su intersección. Para ello introduciremos el concepto de -álgebra de sucesos, que será una clase de subconjuntos de Esobre los que podamos aplicar las reglas de la probabilidad.
2. Entre las leyes que debe cumplir una función de probabilidad y que hemos escrito antes, hemos observado que algunas son redundantes, ya que se pueden deducir de las demás. Con la definición axiomática de la probabilidad pretendemos dar el menor conjunto posible de estas reglas, para que las demás se deduzcan como una simple consecuencia de ellas.
Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de una función de probabilidad:
La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del ni del ;
La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el ;
La probabilidad del suceso imposible debe ser 0.
La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,
a probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado:
Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) debe ocurrir que
La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer . Esto en realidad puede deducirse del siguiente razonamiento:
En las últimas líneas hemos esbozado ciertas propiedades que debería cumplir una función que queramos llamar probabilidad. Hemos de tener en cuenta entonces que siguiendo esos puntos:
1. La función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E. No es estrictamente necesario que sean todos, pero si es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, lo pueda ser también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, que también se pueda calcular sobre su unión y su intersección. Para ello introduciremos el concepto de -álgebra de sucesos, que será una clase de subconjuntos de Esobre los que podamos aplicar las reglas de la probabilidad.
2. Entre las leyes que debe cumplir una función de probabilidad y que hemos escrito antes, hemos observado que algunas son redundantes, ya que se pueden deducir de las demás. Con la definición axiomática de la probabilidad pretendemos dar el menor conjunto posible de estas reglas, para que las demás se deduzcan como una simple consecuencia de ellas.
FACTORIAL DE UN NUMERO
El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
Su utilidad estriba en que se utiliza en la mayoría de las fórmulas de la COMBINATORIA
Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
Su utilidad estriba en que se utiliza en la mayoría de las fórmulas de la COMBINATORIA
TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMA DE ARBOL
Tablas de contingencia y diagramas de árbol.
En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.
Conversión de una tabla en diagrama de árbol
Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.
A TOTAL
B P( A B ) P( B ) P( B )
P( A ) P( ) P( )
TOTAL P( A ) P( ) 1
En el caso de los sucesos A, , B y , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.
Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:
Conversión de un diagrama en tabla de contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión
P( BA ) = P( B/A ) · P( A ),
En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.
Conversión de una tabla en diagrama de árbol
Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.
A TOTAL
B P( A B ) P( B ) P( B )
P( A ) P( ) P( )
TOTAL P( A ) P( ) 1
En el caso de los sucesos A, , B y , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.
Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:
Conversión de un diagrama en tabla de contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión
P( BA ) = P( B/A ) · P( A ),
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Probabilidad condicionada.
En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad vará en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.
Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera.
Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.
Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.
En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad vará en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.
Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera.
Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.
Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.
PROBABILIDAD TOTAL
Probabilidad total.
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:
Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = Ø
La unión de todos ellos es el suceso seguro,
Teorema de la probabilidad total
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:
Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = Ø
La unión de todos ellos es el suceso seguro,
Teorema de la probabilidad total
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:
DIAGRAMA DE ARBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
EVENTOS ESTADISTICOS
EVENTOS
Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.
Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.
Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:
1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}
Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente
excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B C =
Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y Bc = A
Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:
P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles
A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.
DISTRIBUCION BINOMIAL
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
- En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
- El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
- La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .
- El experimento consta de un número n de pruebas.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0 £ p £ 1
PROBABILIDAD
Teoría de la probabilidad
La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de un dardo.
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos de aleación en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
.Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Brownia), o las finanzas (donde destaca el modelo de Blacko y Schol para la valuación de acciones).
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos de aleación en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
.Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Brownia), o las finanzas (donde destaca el modelo de Blacko y Schol para la valuación de acciones).
lunes, 6 de septiembre de 2010
combinaciones y permutaciones
Combinaciones y permutaciones
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.
¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.
Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16! = 16! = 20,922,789,888,000 = 3360
(16-3)! 13! 6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10! = 10! = 3,628,800 = 90
(10-2)! 8! 40,320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe. Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa El orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 1 2 3
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:3! = 3 × 2 × 1 = 6
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
{c, c, c} (3 de chocolate)
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.
Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo es tomar)
{c, c, c} (3 de chocolate):
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.
¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.
Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16! = 16! = 20,922,789,888,000 = 3360
(16-3)! 13! 6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10! = 10! = 3,628,800 = 90
(10-2)! 8! 40,320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe. Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa El orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 1 2 3
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:3! = 3 × 2 × 1 = 6
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
{c, c, c} (3 de chocolate)
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.
Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo es tomar)
{c, c, c} (3 de chocolate):
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):
domingo, 5 de septiembre de 2010
TEORIA DE CONJUNTOS
Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto
1) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.
Por ejemplo:
El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.
En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.
Tomando otro ejemplo:
Si E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)
F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)
G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)
E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.
E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F.
F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.
2) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo
. En este ejemplo se escribe:
R
Se lee “ R es subconjunto de P”
no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es
.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
H
Se lee “ H no es subconjunto de C”
También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.
Ejemplo:
S C
Propiedades de la relación subconjunto
1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Si T = { x, z, y, z }, se tiene que T T
2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por Ø
Si se tiene el conjunto B se puede establecer que Ø T
1) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.
Por ejemplo:
El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.
En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.
Tomando otro ejemplo:
Si E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)
F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)
G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)
E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.
E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F.
F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.
2) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
P = { a, e, i, o, u } y R = { a, i }
R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo
. En este ejemplo se escribe:R P
Se lee “ R es subconjunto de P”no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es
.Si se tienen los siguientes conjuntos:
C = { 3, 5, 7, 9 } y H = { 3, 5, 8 }
H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:H C
Se lee “ H no es subconjunto de C”También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.
Ejemplo:
S CPropiedades de la relación subconjunto
1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Si T = { x, z, y, z }, se tiene que T
T2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por Ø
Si se tiene el conjunto B se puede establecer que Ø
T
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